حل تمرین صفحه42 ریاضی نهم

پاسخ تشریحی: خیر، این اثبات **معتبر نیست**. **دلیل:** یک اثبات ریاضی باید یک حکم را برای **تمام حالات ممکن** ثابت کند. مسئله در مورد **«هر مثلث»** صحبت می‌کند، اما اثبات ارائه شده، درستی این حکم را تنها برای یک حالت خاص، یعنی **«مثلث متساوی‌الاضلاع»**، بررسی کرده است. به این نوع استدلال که در آن از یک یا چند مثال محدود به یک نتیجه‌گیری کلی می‌رسیم، **استدلال استقرایی** گفته می‌شود که در ریاضیات برای اثبات یک قضیه کافی نیست. یک اثبات معتبر (استنتاجی) باید به گونه‌ای باشد که فارغ از نوع مثلث (متساوی‌الاضلاع، متساوی‌الساقین، یا مختلف‌الاضلاع)، درستی حکم را نشان دهد.

پاسخ تشریحی: برای ارزیابی پاسخ‌ها، باید به کلمات کلیدی در تعریف توجه کنیم: «**هر** پاره‌خط» برای محدب بودن، و وجود «**حداقل یک** پاره‌خط» که بیرون بزند برای مقعر بودن. * **نرگس: (تشخیص و دلیل هر دو درست است)** * **توضیح:** نرگس ادعا می‌کند چندضلعی مقعر (محدب نیست) است. برای اثبات این ادعا، کافی است **فقط یک مثال نقض** پیدا کند، یعنی یک پاره‌خط که دو نقطه‌ی داخلی را به هم وصل کرده ولی قسمتی از آن خارج از شکل باشد. او با رسم پاره‌خط PQ دقیقاً همین کار را کرده است. پس استدلال او کاملاً صحیح است. * **مهدیه: (تشخیص درست است، اما دلیل نادرست است)** * **توضیح:** شکل مهدیه مقعر است. اما او نتیجه گرفته که چون پاره‌خط ST کاملاً درون شکل است، پس چندضلعی محدب است. این استدلال **نادرست** است. پیدا کردن یک مثال که درست کار کند، ثابت نمی‌کند که شکل محدب است. او باید نشان می‌داد که **تمام** پاره‌خط‌های ممکن درون شکل قرار می‌گیرند، که اینطور نیست. * **مریم: (تشخیص درست است، اما دلیل نادرست است)** * **توضیح:** شکل مریم (پنج‌ضلعی) محدب است. اما دلیل او، مانند مهدیه، بر اساس تنها یک مثال (پاره‌خط MN) است. هرچند نتیجه‌گیری او در مورد شکل اتفاقاً درست از آب درآمده، اما روش استدلال او برای **اثبات** محدب بودن کافی نیست. صرفاً یک آزمایش موفق را نشان می‌دهد، نه یک اثبات کلی.

پاسخ تشریحی: * **الف) {هر مستطیل یک متوازی‌الاضلاع است. چهارضلعی ABCD متوازی‌الاضلاع است.} $ \Rightarrow $ ABCD مستطیل است. (نادرست)** * **توضیح:** این استدلال یک مغالطه‌ی منطقی به نام **«تایید تالی»** است. اینکه یک چهارضلعی، متوازی‌الاضلاع باشد، لزوماً به این معنا نیست که مستطیل هم باشد. برای مثال، لوزی یک متوازی‌الاضلاع است اما مستطیل نیست. مقدمات نمی‌توانند نتیجه را تضمین کنند. * **ب) {در هر مربع، ضلع‌ها با هم برابرند. همه‌ی ضلع‌های ABCD با هم برابر نیستند.} $ \Rightarrow $ ABCD مربع نیست. (درست)** * **توضیح:** این یک استدلال منطقی معتبر به نام **«قیاس استثنایی»** یا **Modus Tollens** است. ساختار آن این است: اگر A آنگاه B. چون B نادرست است، پس A نیز نادرست است. اگر شرط لازم برای مربع بودن (برابری اضلاع) وجود نداشته باشد، آن شکل نمی‌تواند مربع باشد. * **ج) {در هر مربع، ضلع‌ها با هم برابرند. در چهارضلعی ABCD ضلع‌ها برابر نیستند.} $ \Rightarrow $ ABCD مربع نیست. (درست)** * **توضیح:** این عبارت نیز دقیقاً مانند عبارت (ب)، یک استدلال **Modus Tollens** معتبر است و نتیجه‌گیری آن صحیح می‌باشد.

پاسخ تشریحی: این قضیه به **«قضیه‌ی نیمساز زاویه»** معروف است و می‌توان آن را با استفاده از هم‌نهشتی مثلث‌ها اثبات کرد. * **فرض (Hypothesis):** ۱. خط $OZ$ نیمساز زاویه‌ی $XOY$ است ($ \Rightarrow \angle AOP = \angle BOP $). ۲. نقطه‌ی $P$ یک نقطه‌ی دلخواه روی نیمساز $OZ$ است. ۳. $PA$ فاصله‌ی نقطه $P$ از ضلع $OX$ است ($ \Rightarrow PA \perp OX $). ۴. $PB$ فاصله‌ی نقطه $P$ از ضلع $OY$ است ($ \Rightarrow PB \perp OY $). * **حکم (Conclusion):** فاصله‌ی $P$ از دو ضلع برابر است ($ PA = PB $). **اثبات:** دو مثلث قائم‌الزاویه‌ی $OAP$ و $OBP$ را در نظر می‌گیریم و تلاش می‌کنیم هم‌نهشتی آنها را ثابت کنیم. | مراحل اثبات | دلیل | | :--- | :--- | | ۱) $ \angle AOP = \angle BOP $ | **(زاویه)** طبق فرض، $OZ$ نیمساز است. | | ۲) $ OP = OP $ | **(وتر)** وتر مشترک هر دو مثلث قائم‌الزاویه است. | | ۳) $ \triangle OAP \cong \triangle OBP $ | به حالت هم‌نهشتی **وتر و یک زاویه‌ی تند (وز)** در مثلث‌های قائم‌الزاویه. | | ۴) $ PA = PB $ | از هم‌نهشتی مثلث‌ها (در مرحله ۳)، نتیجه می‌شود که اضلاع متناظر آنها نیز با هم برابرند. | **تعمیم‌پذیری:** چون نقطه‌ی $P$ به صورت **دلخواه** روی نیمساز انتخاب شد و در اثبات از هیچ ویژگی خاصی از مکان آن استفاده نشد، این نتیجه برای **تمام نقاط روی نیمساز** برقرار است.